qttao.net

最近更新

See 6 more →

曲面论

3 min read

曲面的几何

对于曲面的参数化表示

𝐱(𝑢,𝑣)=(𝑥1(𝑢,𝑣),𝑥2(𝑢,𝑣),𝑥3(𝑢,𝑣))

沿着参数网格的切向量表示为

{𝐱𝑢=𝜕𝑥𝑖𝜕𝑢̂𝐞𝑖𝐱𝑣=𝜕𝑥𝑖𝜕𝑣̂𝐞𝑖

我们说曲面是正则的，如果：𝐱𝑢 和 𝐱𝑣 不共线，即 𝐱𝑢×𝐱𝑣≠0。

对于曲面 𝑀，𝑝∈𝑀，我们考虑曲面上的任意曲线，其参数形式为

𝛂(𝑡)=𝐱(𝑢(𝑡),𝑣(𝑡))

那么曲线在 𝑝 点处的切向量具有形式

𝛂′=𝑢′𝐱𝑢+𝑣′𝐱𝑣

反过来，任意具有如下形式的向量

𝐯=𝜆1𝐱𝑢+𝜆2𝐱𝑣

那么一定存在过 𝑝 的曲线，并且以该 𝐯 为切向量。所有形如该形式的向量，构成切平面 𝑇𝑝𝑀，与切平面垂直的向量称为法向量。

曲面上向量场的导数

曲面 𝑀 上的光滑函数 𝑔(𝑢,𝑣)，我们用 𝐯[𝑔] 表示标量函数 𝑔 沿 𝐯 的方向导数。考虑一个正则曲线 𝛂(𝑡) 在该点的切向量为 𝐯，那么曲线上的 𝑔 表示为

𝑔(𝑢,𝑣)=𝑔(𝑢(𝑡),𝑣(𝑡))

通过链式法则，我们有

d𝑔d𝑡=𝜕𝑔𝜕𝑢d𝑢d𝑡+𝜕𝑔𝜕𝑣d𝑣d𝑡=𝑢′𝑔𝑢+𝑣′𝑔𝑣

对于特例，即沿参数网格切向量的方向导数有

𝐱𝑢[𝑔]=𝑔𝑢,𝐱𝑣[𝑔]=𝑔𝑣

考虑曲面上的向量场 𝑊=(𝑤1,𝑤2,𝑤3)，有了前面曲面上标量场的讨论，我们定义沿 𝐯 方向的向量场的导数为：

𝛁𝐯𝑊=(𝐯[𝑤1],𝐯[𝑤2],𝐯[𝑤3])

特例

𝛁𝐱𝑢𝐖=𝐖𝑢,𝛁𝐱𝑣𝐖=𝐖𝑣

对于单位法向量场 𝐔(𝑝)，为了计算它的方向导数 𝛁𝐯𝐔，我们考虑一个曲线

𝛂(0)=𝑝,𝛂′(0)=𝐯

那么此时的方向导数等于向量场沿曲线的导数：

𝛁𝐯𝑈=𝐔′(𝑡)|𝑡=0

由于 𝐔 是单位向量，𝐔⋅𝐔=0，两边微分得

𝐔′⋅𝐔=0

说明 𝛁𝐯𝐔 是切向量。

于是可以定义形状因子

𝑆𝑝(𝐯)=−𝛁𝐯𝑈

Graph View